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1、考点10 平面向量（核心考点讲与练）一、平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0a0共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作ab相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结。

2、合律：(ab)ca(bc)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.二、向量的分解与向量的坐标运算1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.a1e1a2e2叫做向。

3、量a关于基底e1，e2的分解式.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.3、 平面向量的数量积及其应用1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a。

4、和b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b.(2)范围：向量夹角a，b的范围是0，且a，bb，a.(3)向量垂直：如果a，b，则a与b垂直，记作ab.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos_.3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，。

5、记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.模：|a|.夹角：cos .两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .4.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.三个常用结论(1)O为ABC的重心的充要条件是0；(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则2；(3)对于平面上的任一点O，不共线，满足xy。

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