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天一大联考2022-2023学年(上)高一年级期中考试数学试卷答案

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11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，$f（x）=\frac{{{a^x}-1}}{a^x}$，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式-1＜f（x-1）＜4．

分析由已知数列递推式，利用累积法求得数列的通项公式．

解答解：由$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+2}{n}$，得
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{5}{3}$，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{6}{4}$，…，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n}{n-2}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$（n≥2）．
累积得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2）．
∵a₁=1，∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2）．
验证n=1时，上式成立．
∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$（n∈N^*）．
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}（n∈{N}^{*}）$．

点评本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．

天一大联考2022-2023学年(上)高一年级期中考试数学