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大理、丽江、怒江2023届高中毕业生第一次复习统一检测数学试卷答案

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5．设函数f（x），g（x）的定义域分别为D_f，D_g，且D_f?D_g，若对于任意x∈D_f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D_g上的一个延拓函数．设f（x）=2^x，x∈（-∞，0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数．
（1）若g（x）是奇函数，则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）若g（x）满足：①当x≥0，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$；
②值域为（0，2）；
③对于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{x}-{x}_{2}}$＞0，
则实数a，b的取值分别为2，1．

分析观察已知式子，移项变形为a_n+1+2=q（a_n+2），从而得到a_n+2与a_n+1+2的关系，分a_n=-2和a_n≠-2讨论，当a_n≠-2时构造公比为q的等比数列{a_n+2}，进而计算可得结论．

解答解：∵a_n+1=qa_n+2q-2（q为常数，），
∴a_n+1+2=q（a_n+2），n=1，2，…，
下面对a_n是否为2进行讨论：
①当a_n=-2时，显然有a₃，a₄，a₅∈{-5，-2，-1，7}，此时a₁=-2；
②当a_n≠-2时，{a_n+2}为等比数列，
又因为a₃，a₄，a₅∈{-5，-2，-1，7}，
所以a₃+2，a₄+2，a₅+2∈{-3，0，1，9}，
因为a_n≠-2，所以a_n+2≠0，
从而a₃+2=1，a₄+2=-3，a₅+2=9，q=-3或a₃+2=9，a₄+2=-3，a₅+2=1，q=-$\frac{1}{3}$
代入a_n+1=qa_n+2q-2，可得到a₁=-$\frac{17}{9}$，或a₁=79；
综上所述，a₁=-2或-$\frac{17}{9}$或79，
故答案为：-2或-$\frac{17}{9}$或79．

点评本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题．

大理、丽江、怒江2023届高中毕业生第一次复习统一检测数学