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百师联盟·2023届高三一轮复习联考(三)3 全国卷数学试卷答案

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14．求证．cosα+cos3α=2cos2αcosα．

分析已知不等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用基本不等式化简，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的最小值．

解答解：∵a＞0，x＞0，y＞0，
∴（2x+y）（$\frac{a}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2a+1+$\frac{2x}{y}$+$\frac{ay}{x}$≥2a+1+2$\sqrt{2a}$=25，
即$\sqrt{2a}$=12-a，
两边平方得：2a=（12-a）²，
整理得：（a-8）（a-18）=0，
解得：a=8或a=18，
经检验a=18不合题意，舍去，
则正实数a的最小值为8．
故选：C．

点评此题考查了基本不等式，灵活运用基本不等式是解本题的关键．

百师联盟·2023届高三一轮复习联考(三)3 全国卷数学