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2023普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真卷(五)5数学试卷答案

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4.在科技创新技术等的助力下,新疆棉花的品质稳步提升。下列叙述错误的是A.棉花在生长期间从环境中吸收的C、H、O、N较多B.镁是构成叶绿素的元素,缺镁会造成棉花叶片发黄C.棉花种子充分晒干后,剩余的物质主要是无机盐D.构成棉花的各种元素,都能在无机自然界中找到

分析原不等式可等价为：arctana-a≤arctanb-b，只需构造函数f（x）=arctanx-x，再运用函数的单调性证明不等式．

解答证明：∵正切函数y=tanx在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴其反函数y=arctanx在R上也单调递增，
不妨设，a≥b，原不等式可化为：arctana-arctanb≤a-b，
因此，原不等式等价为：arctana-a≤arctanb-b，—–①
要证不等式①成立，只需构造函数，f（x）=arctanx-x，x∈R，
f’（x）=$\frac{1}{1+x^2}$-1=-$\frac{x^2}{1+x^2}$≤0恒成立，
所以，f（x）在R上单调递减，
由于a≥b，所以f（a）≤f（b），
即arctana-a≤arctanb-b，
所以，|arctana-arctanb|≤|a-b|．
说明：本题也可以利用“拉格朗日中值定理”证明．

点评本题主要考查了运用导数证明不等式，涉及正切，反正切函数的性质，导数的运算，以及函数单调性的确定，属于中档题．

2023普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真卷(五)5数学