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衡中同卷·2023届调研卷(新高考版X)(五)数学试卷答案

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(AA)17.普通小麦的形成包括不同物种杂交和染色体数目加倍的过程,一粒小麦如图所示,其中A、B、D分别代表不同物种的一个染色体组,每个染色体组均含7条染色体。在此基础上,人们又通过杂交育种培育出了许多优良品种。下列叙述正确的是A.一粒小麦与斯氏麦草之间的基因能自由交流B.普通小麦体细胞中有两个染色体组是二倍体C.培育普通小麦运用了染色体数目变异的原理D.②过程常用秋水仙素处理杂种二产生的种子使染色体数目加倍普通小麦(AABBDD)

分析（Ⅰ）设出一次函数解析式，由f[f（x）]=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$求得函数解析式，代入a_n+1=4f（a_n）-a_n-1+4（n≥2）得到数列递推式，然后构造等差数列{a_n+1-a_n}，求其通项公式后，利用累加法求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{n}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项的和为S_n，即可证明S_n＜4．

解答（Ⅰ）解：∵f（x）为一次函数，且单调递增，
∴设f（x）=kx+b（k＞0），
则由f[f（x）]=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，得$k（kx+b）+b={k}^{2}x+kb+b=\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=\frac{1}{4}}\\{kb+b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴f（x）=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$．
则a_n+1=4f（a_n）-a_n-1+4=$4（\frac{1}{2}{a}_{n}-\frac{1}{2}）-{a}_{n-1}+4$=2a_n-a_n-1+2（n≥2）．
即（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，
∵a₁=-1，a₂=2，∴a₂-a₁=3，
∴数列{a_n+1-a_n}构成以3为首项，以2为公差的等差数列，
则a_n+1-a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∴a₂-a₁=2×1+1，
a₃-a₂=2×2+1，
…
a_n-a_n-1=2（n-1）+1（n≥2）．
累加得：a_n=a₁+2[1+2+…+（n-1）]+（n-1）=$-1+2×\frac{n（n-1）}{2}+（n-1）={n}^{2}-2$．
验证n=1时上式成立，
∴${a}_{n}={n}^{2}-2$；
（Ⅱ）证明：b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{n}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1=$\frac{{n}^{2}-2+2}{n}×（\frac{1}{2}）^{n-1}=n×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
则S_n=b₁+b₂+…+b_n=$1×（\frac{1}{2}）^{0}+2×（\frac{1}{2}）^{1}+3×（\frac{1}{2}）^{2}+…+$$n×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}=1×（\frac{1}{2}）^{1}+2×（\frac{1}{2}）^{2}+3×（\frac{1}{2}）^{3}$$+…+n×（\frac{1}{2}）^{n}$．
两式作差得：$\frac{1}{2}{S}_{n}=1+\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{n-1}-n×（\frac{1}{2}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}-n×（\frac{1}{2}）^{n}$=$2-（\frac{1}{2}）^{n-1}-n×（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴${S}_{n}=4-（\frac{1}{2}）^{n}-n×（\frac{1}{2}）^{n+1}＜4$．

点评本题考查数列的函数特性，考查了等差数列的确定，训练了累加法求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．

衡中同卷·2023届调研卷(新高考版X)(五)数学