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名校之约 2023届高三新高考考前模拟卷(四)4数学试卷答案

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15．在△ABC中，已知tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，且$\sqrt{3}$（tanA+tanB）=tanAtanB-1，求△ABC的三内角的值．

分析（1）化简得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由直线y=$\frac{1}{2}$与f（x）的图象交点之间最短距离为π可知f（x）周期为π，求出ω，结合正弦函数单调性求出
f（x）的单调增区间；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，整理得cosB=$\frac{1}{2}$，于是B=$\frac{π}{3}$，由A的范围得出2A-$\frac{π}{6}$的范围，从而求出f（A）的范围．

解答解；（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-sin²ωx+2sin²ωx-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵直线y=$\frac{1}{2}$与f（x）的图象交点之间最短距离为π，
∴f（x）的周期T=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，
∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$．∴$-\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴当2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（A）取得最大值$\frac{1}{2}$，
当2A-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$或2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值-1．
∴f（A）的取值范围是（-1，$\frac{1}{2}$]．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，确定A的范围是关键．

名校之约 2023届高三新高考考前模拟卷(四)4数学