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河北省2023届高三学生全过程纵向评价(二)2数学试卷答案

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11．设函数f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x²+x）+f（t-2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，设g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为-1，求m的值．

分析先换元，设t=log_ab，原式可写成${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$，再两次运用基本不等式进行放缩，并且两次放缩取等条件一致，从而得出原式的最小值．

解答解：设t=log_ab，则$\frac{1}{t}$=log_ba，
因为，a＞1，b＞1，所以，t＞0，$\frac{1}{t}$＞0，
原式=2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_{b}a}$=${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$，
根据基本不等式，
${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$≥2•$\sqrt{{2}^{t}•{4}^{\frac{1}{t}}}$=2•$\sqrt{{2}^{t+\frac{2}{t}}}$≥2$\sqrt{{2}^{2\sqrt{2}}}$=${2}^{\sqrt{2}+1}$，
所以，2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_{b}a}$的最小值为${2}^{\sqrt{2}+1}$，
当且仅当：2^t=${4}^{\frac{1}{t}}$且t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$（两次放缩取等条件一致），原式取得最小值，
故答案为：${2}^{\sqrt{2}+1}$．

点评本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及对数的运算和换元法的运用，尤其是两次放缩能同时取等，属于中档题．

河北省2023届高三学生全过程纵向评价(二)2数学