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广东省揭阳市惠来县2023届九年级第一学期期末质量检测数学试卷答案

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18．已知α∈（$\frac{π}{6}$，π），$\overrightarrow{a}$=（sin（2α+β），sinβ），$\overrightarrow{b}$=（3，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x），当f（x）=$\frac{1}{3}$时，α=$\frac{π}{4}$．

分析法一、以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（-1，-1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（-cosθ，-sinθ），F（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$）），0≤θ＜2π，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．
法二、运用向量的加法和数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答解法一：以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，
可得A（-1，-1），
设OE与Ox的反向延长线成θ角，
即有E（-cosθ，-sinθ），F（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$）），
0≤θ＜2π，
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$=（1-cosθ，1-sinθ）•（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$））
=cosθcos（θ+$\frac{π}{3}$）+sinθsin（θ+$\frac{π}{3}$）-（cos（θ+$\frac{π}{3}$）+sin（θ+$\frac{π}{3}$））
=cos$\frac{π}{3}$-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{7π}{12}$），
当sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=1，即θ=$\frac{23π}{12}$时，取得最小值$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$；
当sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=-1，即θ=$\frac{11π}{12}$时，取得最大值$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．
即有$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
法二、$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$）•$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$，
而$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OF}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{OF}$|cosθ=$\sqrt{2}$cosθ，
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
故选：C．

点评本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．

广东省揭阳市惠来县2023届九年级第一学期期末质量检测数学

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