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天一大联考 河南省2022-2023九年级学业水平诊断(一)数学试卷答案

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16．函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂．当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．则称函数f（x）为“理想函数”，则下列四个函数中：①f（x）=$\frac{1}{2}$；②f（x）=x²；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；④f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）可以称为“理想函数”的有2个．

分析（1）由sin²α+cos²α=1，能求出曲线C的普通方程，再由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的极坐标方程，由此得到曲线C是以（3，1）为圆心，以$\sqrt{10}$为半径的圆．
（2）先求出直线的直角坐标为x-y+1=0，再求出圆心C（3，1）到直线x-y+1=0的距离d，由此能求出直线被曲线C截得的弦长．

解答解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴由sin²α+cos²α=1，
得曲线C的普通方程为（x-3）²+（y-1）²=10，
即x²+y²=6x+2y，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得曲线C的极坐标方程为ρ²=6ρcosθ+2ρsinθ，
即ρ=6cosθ+2sinθ，
它是以（3，1）为圆心，以$\sqrt{10}$为半径的圆．
（2）∵直线的极坐标方程为sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$，
∴ρsinθ-ρcosθ=1，
∴直线的直角坐标为x-y+1=0，
∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r=$\sqrt{10}$为半径的圆，
圆心C（3，1）到直线x-y+1=0的距离d=$\frac{|3-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴直线被曲线C截得的弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{22}$．

点评本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线被圆截得的弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、普通方程、参数方程互化公式的合理运用．

天一大联考 河南省2022-2023九年级学业水平诊断(一)数学

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