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2023年普通高等学校招生伯乐马模拟考试(四)4数学试卷答案

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14．设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知$2{S_n}={3^n}+3$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_nb_n=log₃a_n，{b_n}的前n项和T_n
①求T_n；
②若P＜T_n＜Q对于n∈N^*恒成立，求P与Q的范围．

分析先根据$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$得出$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，再根据向量加法的三角形法则，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，化简即可得出结果．

解答解：在$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$两边加上λ$\overrightarrow{AP}$得，
$\overrightarrow{AP}$+λ$\overrightarrow{AP}$=λ（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PB}$）=λ$\overrightarrow{AB}$，
即（1+λ）$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，故$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，
再根据向量加法的三角形法则，
$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{OB}$，
即$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{OB}$，
故选：D．

点评本题主要考查了平面向量的线性运算，涉及加法的三角形法则，属于中档题．

2023年普通高等学校招生伯乐马模拟考试(四)4数学

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