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2023年普通高等学校招生全国统一考试·金卷(二)2数学试卷答案

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8．求证：关于x的方程sin（cosx）=x在区间（0，$\frac{π}{2}$）内有唯一的实数解．

分析（1）设t=2^x，t∈[1，4]，y=t-t²+a≤0恒成立，分离参数，求出y的最小值，即可．
（2）求出q为真命题的a的范围，判断命题p和命题q的真假，然后，结合条件：命题p或q为真命题，p且q为假命题，得到两个命题中，必有一个为假命题，一个为真命题，最后，求解得到结论．

解答解：（1）命题p：设t=2^x，t∈[1，4]，y=t-t²+a≤0恒成立，
∴a≤t²-t在[1，4]恒成立，
∴a≤y_min=0，
∴实数a的取值范围为（-∞，0]
（2）命题q：函数y=ln（x²+ax+1）定义域是R，
∴x²+ax+1＞0，
∴△=a²-4＜0，
解得：-2＜a＜2；
△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2
（2）“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
所以命题p与命题q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{a≤-2或a≥2}\end{array}\right.$，解得a≤-2，
当命题p为假，命题q为真时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-2＜a＜2}\end{array}\right.$，解得0＜a＜2，
综上：实数a的取值范围为（-∞，-2]∪（0，2）．

点评本题重点考查了简单命题的真假判断，复合命题的真值表应用，注意“且”“或”的含义，属于中档题．

2023年普通高等学校招生全国统一考试·金卷(二)2数学