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江西省2023届七年级第五次阶段适应性评估 R-PGZX A JX数学试卷答案

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9．已知f（x）=ax³+x²在x=1处的切线方程与直线y=x-2平行，则y=f（x）的解析式为f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²．

分析（1）由已知数列递推式可得a_n=2a_n-1+2，由此构造等比数列{a_n+2}，求其通项公式后可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₂（a_n+2），进一步得到数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$}的通项公式，再利用错位相减法求数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n项和T_n．

解答（1）由S_n=2a_n-2n，得
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），
两式作差可得：a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2．
∴a_n+2=2（a_n-1+2）．
则$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n-1}+2}=2$．
当n=1时，S₁=2a₁-2，得a₁=2．
∴数列{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}+2=4•{2}^{n-1}$，
则${a}_{n}={2}^{n+1}-2$；
（2）由b_n=log₂（a_n+2）=$lo{g}_{2}{2}^{n+1}=n+1$，得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$．
则${T}_{n}=\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$ ①，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}+\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$ ②，
①-②得
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}+\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$
=$\frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+1}{{2}^{n+2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$=$\frac{3}{4}-\frac{n+3}{{2}^{n+2}}$．
∴${T}_{n}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．

点评本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．

江西省2023届七年级第五次阶段适应性评估 R-PGZX A JX数学

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