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赤峰市2023届高三第三次统一考试试题(2023.3)数学试卷答案

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19．对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x₀∈[0，1]满足f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

分析根据f′（x）=3ax²-1＜0恒成立，求得实数a的取值范围．

解答解：函数f（x）=ax³-x在（-∞，+∞）内是减函数，故f′（x）=3ax²-1＜0恒成立，
故有3a≤0，求得a≤0，
故选：A．

点评本题主要考查函数的单调性和导数的关系，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．

赤峰市2023届高三第三次统一考试试题(2023.3)数学

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