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衡水金卷先享题压轴卷2023答案 老高考B三数学试卷答案

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17．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：

	感染	未感染	总计
服用	10	40	50
未服用	20	30	50
总计	30	70	100

附表：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025
k	2.76	3.841	5.024

参照附表，下列结论正确的是（　　）

	A．	在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
	B．	在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
	C．	有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
	D．	有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”

分析原不等式可等价为：arctana-a≤arctanb-b，只需构造函数f（x）=arctanx-x，再运用函数的单调性证明不等式．

解答证明：∵正切函数y=tanx在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴其反函数y=arctanx在R上也单调递增，
不妨设，a≥b，原不等式可化为：arctana-arctanb≤a-b，
因此，原不等式等价为：arctana-a≤arctanb-b，—–①
要证不等式①成立，只需构造函数，f（x）=arctanx-x，x∈R，
f’（x）=$\frac{1}{1+x^2}$-1=-$\frac{x^2}{1+x^2}$≤0恒成立，
所以，f（x）在R上单调递减，
由于a≥b，所以f（a）≤f（b），
即arctana-a≤arctanb-b，
所以，|arctana-arctanb|≤|a-b|．
说明：本题也可以利用“拉格朗日中值定理”证明．

点评本题主要考查了运用导数证明不等式，涉及正切，反正切函数的性质，导数的运算，以及函数单调性的确定，属于中档题．

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