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安徽省合肥市包河区2022-2023学年第二学期教学质量检测（二）数学试卷答案

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20．若cosα=-$\frac{3}{5}$，且α∈（π，$\frac{3π}{2}$），则tanα=（　　）

A．

-$\frac{4}{3}$

B．

$\frac{4}{3}$

C．

$\frac{3}{4}$

D．

-$\frac{3}{4}$

分析由条件令a=4，b=1，得f（2）=3，令a=1，b=4，得f（3）=5，猜想：f（n）=2n-1（n∈N*）．再由数学归纳法证明，即可求出f（2016）的值．

解答解：∵函数f（x）满足对任意实数a，b，有知$f（{\frac{a+2b}{3}}）=\frac{f（a）+2f（b）}{3}$，
∴由f（1）=1，f（4）=7，
令a=4，b=1，得f（2）=$\frac{f（4）+2f（1）}{3}$=3，
令a=1，b=4，得f（3）=$\frac{f（1）+2f（4）}{3}$=5，
猜想：f（n）=2n-1（n∈N*）．①
证明：当n=1，2，3，4时①成立．
假设n≤k（k＞4且k为整数），①都成立．
令a=k-2，b=k+1，得f（k）=$\frac{f（k-2）+2f（k+1）}{3}$，
∴f（k+1）=$\frac{1}{2}$[f（k）-f（k-2）]=$\frac{1}{2}$[3（2k-1）-2（k-2）+1]=2（k+1）-1，
即对n=k+1．f（k+1）=2（k+1）-1成立．
∴对任意正整数n，f（n）=2n-1（n∈N^*）都成立．
∴f（2016）=2×2016-1=4031．
故选：D．

点评本题考查抽象函数及运用，考查赋值法的运用，同时考查运用数学归纳法证明与n有关的命题，属于中档题

安徽省合肥市包河区2022-2023学年第二学期教学质量检测（二）数学