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2023年高考真题（新高考I卷）数学试卷答案

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16．数列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{2}$，2a_n+1=a_n+n+2
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（2）设b_n=2ⁿa_n，求{b_n}的前n项和T_n．

分析换元可化已知问题为y=-m³+4m+1在m∈[-1，1]的值域，导数法判单调性可得．

解答解：∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴m=tanx∈[-1，1]，
换元可得y=-m³+4m+1，m∈[-1，1]，
求导数可得y′=-3m²+4＞0，
∴关于m的函数y=-m³+4m+1在m∈[-1，1]单调递增，
∴当m=-1时，函数取最小值-2，
当m=1时，函数取最大值4，
∴函数的值域为[-2，4]

点评本题考查三角函数的最值，换元并用导数法求解函数的最值是解决问题的关键，属中档题．

2023年高考真题（新高考I卷）数学