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2023年山西省初中学业水平考试 定心卷数学试卷答案

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20．已知f（x）=-x+6，$g（x）=-2{x^2}+4x+6，\;h（x）=\left\{{\begin{array}{l}{g（x）\;，x∈\left\{{x|f（x）≥g（x）}\right\}}\\{f（x）\;，x∈\left\{{x|f（x）＜g（x）}\right\}}\end{array}}$，则h（x）的最大值为6．

分析由已知可得：2θ-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，结合二倍角公式和和差角公式，可已知化为sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而利用同角三角函数的基本关系公式，求出cos（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，代入cos2θ=cos[（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]可得答案．

解答解：∵θ∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2θ-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
又∵$\sqrt{3}$sinθcosθ-$\frac{1}{2}$cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ-$\frac{1}{2}$cos2θ=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos2θ=cos[（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（2θ-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2θ-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$，
故选：A

点评本题考查的知识点是二倍角公式和和差角公式，同角三角函数的基本关系公式，难度中档．

2023年山西省初中学业水平考试 定心卷数学