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衡水金卷 湖南省2023年高二期末联考数学试卷答案

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17．已知x＞0，y＞0，且4x+y=1．
（I）求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值；
（2）求log₂x+log₂y的最大值．

分析（1）由已知得BM$\underset{∥}{=}$NC′，从而BMC′N是平行四边形，能求出能化简$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{BN}$．
（2）结合三棱柱，利用向量加法法则能化简$\overrightarrow{A′N}$-$\overrightarrow{MC′}$+$\overrightarrow{BB′}$．

解答解：（1）∵在三棱柱ABC-A′B′C′中，M，N分别内BC，B′C′的中点，
∴BM$\underset{∥}{=}$NC′，∴BMC′N是平行四边形，
∴$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{M{C}^{‘}}$=$\overrightarrow{A{C}^{‘}}$．
（2）$\overrightarrow{A′N}$-$\overrightarrow{MC′}$+$\overrightarrow{BB′}$
=$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{B{B}^{‘}}$+$\overrightarrow{{C}^{‘}M}$
=$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{C{C}^{‘}}$+$\overrightarrow{{C}^{‘}M}$
=$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{CM}$
=$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{MB}$
=$\overrightarrow{AB}$．

点评本题考查向量的化简，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

衡水金卷 湖南省2023年高二期末联考数学