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黑龙江2022~2023学年度下学期高二期末联考试卷(232760D)数学试卷答案

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19.重金属镉(Cd)污染修复一直是环境修复领域研究的热点和难点。科研人员从某重金属镉污染区分离、鉴定出2株耐镉细菌,过程如下:①采集10g土壤样品;②梯度稀释后涂布在Cd^2+质量浓度为600mgL^-1的LB培养基中,30^C条件下培养24h;③挑取生长的菌落进行划线,30^C条件下培养24h;④将得到的2株耐镉菌株保存于4^C冰箱中待用。下列说法正确的是A.过程①中使用的铁铲和取样纸袋均需进行紫外线消毒B.过程②中需要用蒸馏水对菌液进行依次等比稀释C.过程②③使用的接种器具均需灼烧并冷却后进行接种D.从功能上分析,实验中的LB培养基属于鉴定培养基M

分析由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．

解答解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，
∵V_棱锥S-ABCD=$\frac{1}{3}$•a²•h=9，
∴a²=$\frac{27}{h}$，
∵正四棱锥内接于球O，
∴O在直线SM上，设球O半径为R，
（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM-SO=h-R，
（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO-SM=R-h，
∵SM⊥平面ABCD，
∴△OMB是直角三角形，
∴OM²+MB²=OB²，
∵OB=R，MB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴（h-R）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=R²，或（R-h）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=R²
∴2hR=h²+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
即R=$\frac{h}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4h}$=$\frac{h}{2}$+$\frac{27}{4{h}^{2}}$=$\frac{h}{4}+\frac{h}{4}+\frac{27}{4{h}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{27}{64}}$=$\frac{9}{4}$．
当且仅当$\frac{h}{4}$=$\frac{27}{4{h}^{2}}$取等号，
即h=3时R取得最小值$\frac{9}{4}$．
故选：A．

点评本题考查了正棱锥与其外接球的结构特征，寻找球的半径与棱锥底面边长的关系是解题关键．

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