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1、第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型【考点分析】考点一：弦长公式设，根据两点距离公式注意：设直线为上，代入化简，得;设直线方程为，代入化简，得，其中为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式，为二次项系数考点二：三角形的面积处理方法底高 （通常选弦长做底，点到直线的距离为高）水平宽铅锤高或在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，三角形的面积为 考点三：四边形面积处理方法若四边形对角线与相互垂直，则将四边形面积转化为三角形面积进行解决【题型目录】题型一：求弦长及范围问题题型二：三角形面积及范围问题题型三：四边形面积及范围问题【典型例题】题型一：求弦长及范围问题【例1】已知椭圆

2、：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点(1)求椭圆的标准方程；(2)当求此时直线的方程；【答案】(1)；(2)或为.【分析】（1）根据离心率及椭圆过点列方程求解即可；（2）分直线的斜率是否存在两种情况讨论，当直线斜率不存在时验证知不符合题意，斜率存在时，设直线方程，利用弦长公式求出斜率k即可得解.(1)，即，又经过点1)，解得，所以椭圆方程为.(2)当直线的斜率不存在时，即直线的方程，此时，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，设，联立方程组可得消可得，其判别式， ，整理可得，解得即此时直线方程为或为.【例2】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点

3、作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意，由离心率可得的关系，再将点的坐标代入即可得到椭圆方程；（2）根据题意，先讨论两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，再讨论两条弦斜率均存在且不为0，此时设直线的方程为，则直线的方程为，联立椭圆与直线方程，结合韦达定理与弦长公式分别表示出弦长与弦长，即可得到结果.【详解】（1），所以.设椭圆方程为，将代入，得.故椭圆方程为.（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，易得其中一条弦为长轴，另一条弦长为椭圆的通径为，即；当两条弦斜率均存在且不为0时，设，设直线的方程为，则直线的方程为，将直线

4、的方程代入椭圆方程中，并整理得：，同理，令，则，.综合可知，的取值范围为.【例3】已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是(1)求椭圆的方程；(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）由题可知，即可求解的值，进而得到椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，可得，当直线斜率存在时，设直线的方程，与椭圆的方程联立，得到的值，利用弦长公式得到的值，同理可得的值，计算即可.(1)解：由题可知，又，故，所以椭圆的方程为：.(2)证明：当直线斜率不存在时，此时当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得设，则有，因为，所以直线的方程为，同理，所以，综上为定值【题型专

5、练】1椭圆C：左右焦点为，离心率为，点在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用椭圆的离心率，过点，及，列方程解出即可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解.（1）解：由题意得，解得，又因为点在椭圆C上，带入得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：易得直线l的解析式为，设，联立椭圆的方程得，所以2.已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点(1)求椭圆与抛物线的方程；(2)过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由【答案】(1)，；(2)存在，【分析】（1）由题意椭圆与抛物线共焦点，由焦点得出基本量，即可求出椭圆与抛物线的方程.（2）分直线的斜率存在与不存在，在直线斜率不存在时求出直线方程，并验证是否成立，再求直线斜率存在时，设直线的斜率为，联立直线与椭圆方程，求得当满足时直线的斜率，即可求得直线方程.【详解】（1）由，得，所以椭圆的方程：，由，得，所以抛物线的方程：（2）当直线斜率不存在时

小弟在少林寺学了六年武。2009年,小弟在给他的一封信中说,少林寺受邀参加第一届俄罗斯国际军乐节,他和师兄弟都出国了。总统亲自接见了他们。信的后半部分,小弟提到身边很多师兄弟已开始寻求未来更好的出路。小弟说,自己有两条路可选,一是去曼哈顿的华人街当私人武术教练;另一份工作,也是自己比较倾向的,是和同班一个德国学回巴伐利亚支教。信的末尾小弟问他,到底是选美元还是欧元。

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