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吉林省"BEST合作体"2022-2023学年度高一年级下学期期末数学试卷答案

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息环境和化深海热液口13.深海热液口温度较高,周围聚集大量的底栖无脊椎动物,可为化能合成细菌提供栖息环境和化能合成所聚集大量的底可为能合成所需的各种组分,同时化能合成细菌所产生的有机物质能被无脊椭动物所利用。下列说法错误的是A.热液口的化能合成细菌细胞中可能存在耐高温的酶B.化能合成细菌与无脊椎动物的关系属于互利共生关系C.影响该群落结构的非生物因素主要有阳光、温度、无机盐等

分析（Ⅰ）由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆C的方程可求；
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存，设l：y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的中点坐标，代入直线OP的方程求得k值，再由弦长公式求出
|AB|，再由点到直线的距离公式求出O到AB的距离，然后利用配方法求出使△OAB的面积最大时的m值，则直线l的方程可求．

解答解：（Ⅰ）由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{{b}^{2}=2}\end{array}\right.$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）如图，
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设l：y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-8}{1+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$k（-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}）+2m$=$\frac{-8{k}^{2}m+2m+8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}=\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$．
∴AB的中点D为（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}，\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
OP所在直线方程为y=$\frac{1}{2}x$，
∵线段AB的中点D在直线OP（O为坐标原点）上，
∴-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}=\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，即k=-$\frac{1}{2}$．
∴l：y=-$\frac{1}{2}$x+m．
则|AB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{16-4{m}^{2}}$=$\sqrt{5}\sqrt{4-{m}^{2}}$．
O到直线l的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$．
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}$|AB|•d=$\sqrt{-{m}^{4}+4{m}^{2}}$．
∴当m²=2，（S_△OAB）_max=2．
此时直线l的方程为y=$-\frac{1}{2}$x$±\sqrt{2}$．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，化为关于x的方程后，利用根与系数的关系求解，考查了计算能力，是中档题．

吉林省"BEST合作体"2022-2023学年度高一年级下学期期末数学