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国考1号5·第5套·2024届高三阶段性考试(二)数学.试卷答案

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(本小题满分12分)2(本小要外分2e,其中e一2.71828为自然对数的底高量已知函或9)ax

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分析过A作AP∥A₁N交C₁C于P，则AM与AP所夹锐角（或直角），就是所求的角，沿侧棱AA₁把三棱柱ABC-A₁B₁C₁剪开展开，当路径AM-MN-NA₁最短时，最短路径是AA₁，由此能求出结果．

解答解：如图5（甲），过A作AP∥A₁N交C₁C于P，
则AM与AP所夹锐角（或直角），就是所求的角，
沿侧棱AA₁把三棱柱ABC-A₁B₁C₁剪开展开，
如图5（乙），当路径AM-MN-NA₁最短时，
M、N在线段AA₁上，最短路径是AA₁，
由此可知，BM=1，CN=2，
故AM=AP=$\sqrt{2}$，MP=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴（$\sqrt{5}$）²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²-$2\sqrt{2}•\sqrt{2}•cos∠MAP•cos∠MAP$=-$\frac{1}{4}$，
故AM与A₁N所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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