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衡水金卷先享题2022-2023上学期高三四调考试(湖南专版)数学试卷答案

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18．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（0＜φ＜π）是奇函数．
（1）求φ的值；
（2）若f（x）在区间（0，$\frac{π}{4}$）上是增函数，求ω取值范围．

分析（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x），再根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间；
（2）利用x的取值范围求出$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$的取值范围，从而得出sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$）的取值范围，即是f（x）的值域．

解答解：（1）函数f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}$）-cos$\frac{π}{4}$x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{4}$x
=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），…4分
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
则-$\frac{2}{3}$+8k≤x≤$\frac{10}{3}$+8k，k∈Z；
∴函数f（x）的单调增区间为：[-$\frac{2}{3}$+8k，$\frac{10}{3}$+8k]，k∈Z；…7分
（2）当x∈（0，4）时，0＜x＜4，
∴0＜$\frac{π}{4}$x＜π，
∴-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$）≤1；
即函数f（x）的值域为：（-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．…14分．

点评本题考查了三角函数的恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．

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