2023年中考九年级数学高频考点 专题训练–圆的动点问题
一、综合题
1．如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°.
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在 上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F.
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长.
2．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线． 求证： ． 证明：延长CD至点E，使DE=CD，连结AE、BE．
（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
图①
（2）（结论应用）如图，在四边形 中， ， ， ， 是 的中点，连结 、 ．则 的度数为　 　°．
（3）在 中，已知 ， ， ， 为边 的中点， 且与 的平分线交于点 ，则 的长为　 　．
3．如图，四边形 中的三个顶点在⊙ 上， 是优弧 上的一个动点（不与点 、 重合）．
（1）当圆心 在 内部，∠ABO＋∠ADO=70°时，求∠BOD的度数；
（2）当点A在优弧BD上运动，四边形 为平行四边形时，探究 与 的数量关系．
4．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为 cm，AC＝8cm，设运动时间为t秒．
（1）求证：NQ＝MQ；
（2）填空：
①当t＝　 　时，四边形AMQN为菱形；
②当t＝　 　时，NQ与⊙O相切．
5．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在 上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）若CD＝x，直接写出CD2+3CH2的结果．
6．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
7．如图，在 中， ，延长 到点 ，使 ，延长 到点 ，使 ．以点 为圆心，分别以 、 为半径作大小两个半圆，连结 ．
（1）求证： ；
（2）设小半圆与 相交于点 ， ．
①当 取得最大值时，求其最大值以及 的长；
②当 恰好与小半圆相切时，求弧 的长．
8．如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦,点C是优弧AB上一个动点(点C不与A,B重合).
（1）设∠ACB的角平分线与劣弧AB交于点P,试猜想点P在AB 上的位置是否会随点C的运动而发生变化 请说明理由;
（2）如图②,设A′B′=8,⊙O的半径为5,在(1)的条件下,四边形ACBP的面积是否为定值 若是定值,请求出这个定值;若不是定值,试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围.
9．在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是 的对应点），则称线段 是 的以点 为中心的“关联线段”．
（1）如图，点 的横 纵坐标都是整数．在线段 中， 的以点 为中心的“关联线段”是　 　；
（2） 是边长为1的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，求 的值；
（3）在 中， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的最小值和最大值，以及相应的 长．
10．小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点C是上一动点，直径AB＝8cm，过点C作CDAB交于D，O为AB的中点.连接OC，OD，当△ABC的面积为3.5cm2时，求线段CD的长.
小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点C在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段CD，OC的长度和△OCD的面积，得到下表的几组对应值（当点C与点A或点B重合时，△OCD的面积为0）.
CD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
0 1.9 3.9 5.6 m 7.8 7.9 6.8 0
填空：m＝　 　（结果保留一位小数）；
（2）将线段CD的长度作为自变量x，△OCD的面积是x的函数，记为y，请在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象，并写出△OCD面积的最大值；
（3）在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当△OCD的面积为3.5cm2时，线段CD长度的近似值（结果保留一位小数）.
11．如图， 为 的外接圆， ，点D是 上的动点，且点 分别位于 的两侧．
（1）求 的半径；
（2）当 时，求 的度数；
（3）设 的中点为M，在点D的运动过程中，线段 是否存在最大值？若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由．
12．如图， 是 的直径， 是 上的一点，过点 作 的切线 ，过圆心 作 的平行线交直线 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 .
（1）判断 与 的位置关系，并证明结论；
（2）若四边形 是平行四边形，求 的值；
（3）若 运动后能与 重合，则 　 　，请说明图形的运动过程.　 　
13．对于平面直角坐标系 中的点M和图形 ， 给出如下定义：点P为图形 上一点，点Q为图形 上一点，当点M是线段 的中点时，称点M是图形 ， 的“中立点”．如果点 ， ，那么“中立点”M的坐标为 ．已知，点 ， ， ．
（1）连接 ，在点 ， ， 中，可以成为点A和线段 的“中立点”的是　 　；
（2）已知点 ， 的半径为2．如果直线 上存在点K可以成为点A和 的“中立点”，求点K的坐标；
（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线 上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与 的“中立点”．直接写出点N的横坐标n的取值范围．
14．如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．
（1）求∠OMP的度数；
（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．
15．对于平面内的图形 和图形 ，记平面内一点 到图形 上各点的最短距离为 ，点 到图形 上各点的最短距离为 ，若 ，就称点 是图形 和图形 的一个“等距点” ．
在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．
（1）在 ， ， 三点中，点 和点 的等距点是　 　；
（2）已知直线 ．
①若点 和直线 的等距点在 轴上，则该等距点的坐标为 ▲ ；
②若直线 上存在点 直线 的等距点，求实数 的取值范围；
（3）记直线 为直线 ，直线 ： ，以原点 为圆心作半径为 的 ．若 上有 个直线 和直线 的等距点，以及 个直线 和 轴的等距点（ ， ），求 时，求 的取值范围．
16．如图，在 中， ，动点 沿线段 从点 向点 运动，当点 与点 重合时，停止运动，以点 为圆心， 为半径作 ，点 在 上且在 外， ．
（1）当 时 　 　，点 到 的最远距离为　 　；
（2） 与 相切于点 时（如图2），求 的长？并求出此时劣弧 长度？（参考数据： ）
（3）直接写出点 的运动路径长为　 　， 的最短距离为　 　．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连结OC，如图所示.
∵AD＝CD ，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠A=30°.
∴∠CDB＝60°.
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC=60°.
∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°.
∴OC⊥AC.
∴直线AC是⊙O的切线.
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示.
∵OD=OC，∠ODC=60°，
∴ 是等边三角形.
∴ .
∴在 中，
.
∵AB＝AD＋BD＝3，
∴ .
（3）解： 当点E运动到与点C关于直径BD对称时，如图所示.
此时，CE⊥AB，设垂足为K.
由（2）可知， .
∵BD为圆的直径，CE⊥AB，
∴CE＝2CK＝ .
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°.
∵ ，
∴∠E=∠CDB＝60°.
在 中，
∵ ，
∴ .
如图所示：
由 可知，在 中，
∵ ，
∴ .
∴当点E在 上运动时，始终有 .
∴当CE最大时，CF取得最大值.
∴当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为 .
2．【答案】（1）证明：延长 到 ，使 ，连接 、 ，
是斜边 上的中线，
，
又 ，
四边形 是平行四边形
又 ，
是矩形，
，
（2）15
（3）
3．【答案】（1）解：连接OA，如图1，
∵OA=OB，OA=OD，
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，即∠BAD=70°，
∴∠BOD=2∠BAD=140°
（2）解：①如图2，
，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠OBC=∠ODC=180°-120°=60°，
又∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠OBA+∠ODA=180°-（∠OBC+∠ODC）
=180°-（60°+60°）
=180°-120°
=60°
②Ⅰ、如图3，
，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，
∵OA=OD，OA=OB，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA-∠ODA=60°．
Ⅱ、如图4，
，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠OAB=∠OAD-∠BAD=∠OAD-60°，
∵OA=OD，OA=OB，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA=∠ODA-60°，
即∠ODA-∠OBA=60°．
所以，当点A在优弧BD上运动，四边形 为平行四边形时，点O在∠BAD内部时， + =60°；点O在∠BAD外部时，| – |=60°．
4．【答案】（1）解：证明：∵AB⊥MN，
∴PM＝PN
∴AB垂直平分MN，
∴NQ＝MQ
（2）；2
5．【答案】（1）证明：连接OC交DE于M．
由矩形得OM＝CM，EM＝DM．
∵DG＝HE．
∴EM﹣EH＝DM﹣DG．
∴HM＝GM．
∴四边形OGCH是平行四边形
（2）解：DG不变．
在矩形ODCE中，∵DE＝OC＝3．
∴DG＝1
（3）证明：设CD＝x，则CE＝ ．过C作CN⊥DE于N．
由DE CN＝CD EC得CN＝ ．
∴ ＝ ．
∴HN＝3﹣1﹣ ＝ ．
∴3CH2＝3[（ ）2+（ ）2]＝12﹣x2．
∴CD2+3CH2＝x2+12﹣x2＝12．
6．【答案】（1）解：如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD= BC= ×6=3，
∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3，
∴OD= =4，
即线段OD的长为4．
（2）解：存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB=90°，OA=OB=5，
∴AB= =5 ，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE= AB= ，
∴DE保持不变．
7．【答案】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
∴
（2）解：①当 时， 取得最大值，
最大值 ，
在 中， ，
∴ ；
②当 恰好与小半圆相切时， ，
∵在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴弧 的长
8．【答案】（1）解：如图，
结论:点P在弧AB上的位置不会随点C的运动而发生变化
CP平分∠ACB
ACP=∠BCP (角平分线将这个角分为两个相等的角)
= (在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等)
即点P为劣弧AB的中点
（2）解：四边形 的面积不是定值.
当 经过圆心时，点 到 的距离最大,故四边形 的面积最大,此时 垂直平分 :设 交 于M
M=4， =5 M⊥
M=3 (直角三角形勾股定理求值)
M =2 =8
M=8 M =2 ⊥ =8 ;
的最大面积= ， 的面积=
点C在优弧上运动,且不与A、B重合
8 <四边形ACBP的面积≤40
9．【答案】（1）
（2）由题意可得：当 是 的以点 为中心的“关联线段”时，则有 是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
设 与y轴的交点为D，连接 ，易得 轴，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
同理可得此时的 ，
∴ ；
（3）由 是 的以点 为中心的“关联线段”，则可知 都在 上，且 ，则有当以 为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：
由运动轨迹可得当点A也在 上时为最小，最小值为1，此时 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由以上情况可知当点 三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：
连接 ，过点 作 于点P，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴由勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
综上所述：当 时，此时 ；当 时，此时 ．
10．【答案】（1）6.9
（2）解：如图所示，
结合函数图象及表格得，△OCD面积的最大值为7.9cm2；
（3）解：当时，如图所示：
由图象可知：设CD＝x cm时，过O作OH⊥CD，垂足为H，
则cm，OC＝4 cm，设高OH＝h cm，则h2＝，
根据题意得，
∴，即
将代入上式得，
令，则，即，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当△OCD的面积为3.5cm2时，线段CD长度的近似值为1.8cm或7.8cm.
11．【答案】（1）解：如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝4 ，
∴AB 8，
∴⊙O的半径为4．
（2）如图1中，连接OC，OD．
∵CD＝4 ，OC＝OD＝4，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．
（3）如图2中，连接OM，OC．
∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，
连接CJ，JM．
∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ 2 ，
∵CM≤CJ+JM＝2 2，
∴CM的最大值为2 2．
12．【答案】（1）解： 与 相切，
连结OC，
∵AO=CO，
∴∠CAO=∠ACO，
∵OF∥AC，
∴∠ACO=∠COF，∠BOF=∠CAO，
∴∠COF=∠BOF，
在△COF和△BOF中，
OC=OB，
∠COF=∠BOF，
OF=OF，
∴△COF≌△BOF（SAS），
∴∠FCO=∠FBO，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠FBO=90 ，
∴∠FCO=90 ，
∵OC为半径，CF⊥OC，
∴FC为⊙O的切线；
（2）解：四边形 是平行四边形，
∴CF∥AB，
∴OC⊥AB，
∴∠FCO=∠COB=∠OBF=90 ，CO=OB，
∴四边形OBFC是正方形，
∴OD=CD，且OD⊥CD，
∴CO= OD，
OE=OC= OD，
DE=OE-OD=（ -1）OD，
；
（3）1；解：∵ 运动后能与 重合， ∴AC=OB=OC=AO， ∴三角形△AOC为等边三角形， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90 ， ∴∠ABC=180 -90 -60 =30 ， 由OF∥AC， ∴OD⊥BC， ∴OD= OB= OE=DE， ∴ . 此时△ABC绕着点C逆时针方向旋转90 后到△OFC，然后再沿OF翻折就能与三角形OFB重合.
13．【答案】（1）D、F
（2）解：如图中，点A和 的“中立点”在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
因为点K在直线 上，设 ，
则有 ，
解得 或1，
点K坐标为 或 ．
（3）
14．【答案】（1）解：∵△OPE的内心为M，∴∠MOP=∠POE，∠MPO=∠EPO，
∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣ （∠EOP+∠OPE），
∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，
∴∠PMO=180°﹣ （∠EOP+∠OPE）=180°﹣ （180°﹣90°）=135°
（2）解：如图，∵OP=OC，OM=OM，而∠MOP=∠MOC，∴△OPM≌△OCM，
∴∠CMO=∠PMO=135°，
所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（弧OMC 和ONC）；
点M在扇形BOC内时，
过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，
在优弧CO取点D，连DC，DO，
∵∠CMO=135°，
∴∠CDO=180°﹣135°=45°，
∴∠CO′O=90°，而OA=4cm，
∴O′O= OC= ×4=2 ，
∴弧OMC的长= = π（cm），
同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为 πcm，
所以内心M所经过的路径长为2× π=2 πcm
15．【答案】（1）S(2，0)
（2）解：①（4，0）或（8，0）；②如图，设直线 上的点 为点 和直线 的等距点，连接 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ．
点 为点 和直线 的等距点，
．
．
点 在直线 上，
可设点 的坐标为 ．
．
整理得 ．
由题意得关于 的方程 有实数根．
．
解得 ．
（3）解：如图．
直线l1和直线l2的等距点在直线l3： 上，
直线l1和y轴的等距点在直线 或 上，
点O与l4的距离为 ，点O与l3的距离为 ，点O与l5的距离为3，
当r＜ 时，n=0不符合题意，
当r= 时，m=2，n=0，符合题意，
当 ＜r＜3时，m=n=2，不符合题意，
当r≥3时，m=2，n=3或4，符合题意，
综上所述，r= 或r≥3.
16．【答案】（1）；
（2）解：如图2， 与 相切与点 ，
连接 ，则 ，
在 ， ，
，
在 中， ，
设 半径为 ，则 ，
在 中， ，
；
，
∴
．
∴劣弧 长度为 .
（3）；

2023年中考九年级数学高频考点 专题训练–圆的动点问题（含答案）

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