2023年湖南省衡阳市高三上学期11月联考数学试题含答案内容：
2024届高三11月质量检测试题数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟，
注意事项：
1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效。
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合A={xeZ小r2+3x< 4,B={-1,2,5},则AUB中元素的个数为()
A.1
B.4
C.6
D.7
2.已知i是虚数单位，
则复
1-21
的虚部是《
1-i
A月
B时
3
3.设a,b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的()
A充分不必要条件
B,必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4函数f(x)=
In
的图象大致为()
e、+e
5.己知向量a,b满足a-b-a=2,且a=(-1,1),则向量b在向量a上的投影向量为()
A.(-2,2)
B.(2,2)
c.(-1,1)
D.(1,I)
6.如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1k,峰底A到峰顶S的距离为
4km,B是山坡SA的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短D若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
11.欧拉函数(n)?∈N)的函数值等于所有不超过正整数，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1
的两个正整数称为互质整数)，例如：(3)=2，(4)=2，则()
Ap(4)p6)=p(8)
B.当n为奇数时，pn)=n-1
p(2
C.数列{p(2”)}为等比数列
D.数列
的前n项和小
3-2
12.已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为2，P是正方体表面上一动点，且PA=元PA,记点P形成的轨
迹为「：，则下列结论正确的是()
AP,Q∈「，PQ⊥AA
B.3P,Qe「2，PQ∥A4
C.T的长度是8
D.「2的长度是
8nx
93
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列{a}的前n项和为S。·若a2=3,S4=10,则as=
14.写出与圆(x-1)+(y-2)=1和圆(x+1)+(y+2=1都相切的一条直线的方程
I5.己知关于x的不等式logx< ar+2恰有一个整数解，则实数口的取值范围是
2x,0≤x≤
16.已知函数f(x)=
则方程f(f(x)月=x的解的个数是
21-2< x≤
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小思满分10分)
已知函数()=s加(2x+p)和g()=c0os(2x+p)+1(0< p< )在x=若处有相同的导数
(1)求9：
(2)设x是f(x)的极大值点，是g(x)的极小值点，求f(x-x)的值
18.(本小愿满分12分)
如图，在斜四棱柱ABCD-ABCD中，底面正方形ABCD的中心是O,且AO⊥平面ABCD
(1)证明：平面CB,D⊥平面ABCD:
(2》若该四棱柱的所有棱长均为1，求二面角A-BC-D的余弦值
19.(本小题满分12分)
为了加快实现我国高水平科技自立自强。某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至
2022年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿元》的散点图，其中年份代码1~10分别对应年份
20132022
4年研发投人亿元司
85
70
10华份代码x
6
012345678910华份代码x
◆模型①=-模型②2
图1
图2
根据散点图。分别用模型y=br+《,②y=c+d√x作为年研发投入y(单位：亿元》关于年份代码x
的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图结合数据，计算得到如下表所示的一些统计
量的值：
s-
26-可
26–)
6-%-司
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
表-，i8
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y(单位：亿元)关于年份代码x的经
验回归方程模型？并说明理由：
(2)()根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程：
()设该科技公司的年利润L(单位：亿元)和年研发投入y(单位：亿元)满足L=(111.225-y)F
(xeN”且x∈[1,20])，问该科技公司哪一年的年利润最大？
附：对于一组数据(x,乃)，(x2,2),…,(xy),其经验国归直线=云+br的斜率和截距的最小二乘
3.【答案】B
【解析】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当4与b是异面直线时，4与b无公共点，故
选B.
4.【答案】B
【解析】因为函数f(x)的定义域为{x中≠0，又f(x)=f(-x),函数f(x)为偶函数故选B.
5.【答案】A
【解析】由a=(-l,1),得园=√2又a-方-a=2,所以a,石=4，所以向量石在向量a上的投影向量为
g5×日=(-2,2，故选A
6.【答案】D
【解析】以SA为分界线。将圆锥的剧面展开，可得其展开图如图
2π
则从点A到点B的最短路径为线段A”B,AA=2π，∠A”SA=二=
42
过S作SP⊥AB,则公路距山顶的最近距离为SP,
因为4B=V4P+2=25,所以SP=S4S4-8=4W5
故选D.
A4’2W55

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